Ana Sayfa / ETABS & SAP2000 / Modal Analiz
Modal Analiz — Doğal Periyot ve Mod Şekilleri
Öz değer (eigenvalue) probleminin fiziği, ETABS'ta Modal Case kurulumu, kütle katılım oranı okuma, ve kolay → çok zor 4 çözümlü örnek — GlobalStructure'ın engine/dynamics.js motoruyla hesaplandı.
eigenSolve), standart güç iterasyonu (power iteration) kullanıyordu — bu yöntem matematik olarak her zaman en büyük özdeğere yakınsar, hangi mod istenirse istensin. Önceki testler bu hatayı yakalamamıştı çünkü M=I gibi simetrik özel bir durumda test edilmişti. Gerçekçi (eşit olmayan kat kütle/rijitlikli) bir örnek denerken hata ortaya çıktı: 1. mod yanlışlıkla en yüksek frekanslı modu veriyordu. Çözüm: ters iterasyon (inverse power iteration, K⁻¹M üzerinde) + Gram-Schmidt deflasyonu. Regresyon testi eklendi (tests/dynamics.test.js). Bu, master prompt'un "doğrulama olmadan yayınlama" ilkesinin neden var olduğunun canlı bir örneğidir — bu sayfa için gerçekçi bir örnek denemeseydik hata fark edilmeyecekti.
İçindekiler
1. Teori — Öz Değer Problemi 2. ETABS'ta Modal Case Kurulumu 3. Örnek 1 (Kolay) — 2 Katlı Simetrik Çerçeve 4. Örnek 2 (Orta) — 3 Katlı Düzenli Çerçeve 5. Örnek 3 (Zor) — 4 Katlı Düzensiz (Kütle/Rijitlik Değişken) 6. Örnek 4 (Çok Zor) — Yetersiz Mod Sayısı Tuzağı1. Teori — Öz Değer Problemi
Sönümsüz, serbest titreşim halindeki çok serbestlik dereceli (MDOF) bir sistemin hareket denklemi:
Harmonik çözüm u(t) = φ·sin(ωt) varsayımıyla bu, klasik bir genelleştirilmiş öz değer problemine dönüşür:
Bu denklemin aşikâr olmayan çözümü için det(K−ω²M)=0 olmalıdır — bu, n serbestlik dereceli bir sistem için n adet ω² (özdeğer) ve karşılık gelen n adet φ (mod şekli, özvektör) verir. En küçük ω, 1. mod (hakim mod)'a karşılık gelir ve genellikle en büyük deprem tepkisini üretir.
Mod Şekli Normalizasyonu
Mod şekilleri (özvektörler) yalnızca yön bilgisi taşır, büyüklükleri keyfidir. Yapı mühendisliğinde standart pratik, φᵀMφ=1 olacak şekilde kütle-normalize etmektir — bu, sonraki katılım faktörü hesaplarını basitleştirir.
Modal Katılım Faktörü ve Etkin Kütle
Meff,n = Γn² (φ M-normalize ise) Chopra §13.2, Denk. (13.2.4)–(13.2.5)
Her modun toplam kütleye oranı (Meff,n/Mtoplam) o modun "kütle katılım oranı"dır. TBDY 2018 §4.8.1 ve çoğu uluslararası kod (ASCE 7, UBC-97), her iki yatay doğrultuda kümülatif katılımın en az %90'a ulaşmasını zorunlu kılar — yetersiz mod sayısı kullanmak, yapının gerçek tepkisini eksik temsil eder.
2. ETABS'ta Modal Case Kurulumu
Varsayılan "MODAL" durumunu düzenleyin veya yeni bir modal durum ekleyin. "Number of Modes" alanında başlangıç için 12 (ETABS varsayılanı) girip, sonuç tablosundaki kümülatif kütle katılımını kontrol ederek gerekirse artırın.
Eigenvectors: gerçek doğal titreşim modlarını verir, genel yapı davranışı için standart. Ritz Vectors: belirli bir yük paternine (örn. deprem yönü) göre optimize edilmiş modlar üretir — zaman tanım alanı analizinde daha hızlı yakınsar ama modlar "gerçek" fiziksel modlar değildir.
Analizi çalıştırın.
Bu tablo her mod için T (periyot), UX/UY/UZ (öteleme kütle katılımı) ve RX/RY/RZ (dönme kütle katılımı) sütunlarını içerir. Kümülatif UX ve UY sütunlarını takip edin — ikisi de %90'a ulaşana kadar gereken mod sayısını belirleyin.
3. Örnek 1 — 2 Katlı Simetrik Kesme Çerçevesi
Sistem: 2 katlı, her iki katın kütlesi (m=100 t) ve rijitliği (k=40 000 kN/m) eşit — klasik ders kitabı örneği, kapalı-form çözümü mevcuttur.
| Mod | ω² (rad²/s²) | T (s) | φ (mod şekli, normalize) |
|---|---|---|---|
| 1 | 152.79 | 0.5083 | [0.0526, 0.0851] — aynı fazda |
| 2 | 1047.21 | 0.1942 | [−0.0851, 0.0526] — zıt fazda |
Fiziksel yorum: 1. modda her iki kat aynı yönde hareket eder (bina "sallanır"); 2. modda katlar zıt yönde hareket eder (üst kat bir yöne, alt kat diğer yöne — daha yüksek frekans, daha az pratik önem taşır).
4. Örnek 2 — 3 Katlı Düzenli Çerçeve
Sistem: 3 katlı, her kat m=150 t, k=50 000 kN/m (eşit katlar, ama 3 serbestlik derecesi artık elle çözümü zorlaştırıyor — matris yöntemi gerekli).
| Mod | T (s) | φ (mod şekli) |
|---|---|---|
| 1 | 0.7733 | [0.0268, 0.0483, 0.0602] — monoton artan (klasik 1. mod şekli) |
| 2 | 0.2760 | [0.0602, 0.0268, −0.0483] — bir işaret değişimi |
| 3 | 0.1910 | [0.0483, −0.0602, 0.0268] — iki işaret değişimi |
Fiziksel yorum: Yüksek modlara çıkıldıkça mod şeklinde işaret değişim sayısı artar — bu, tüm çok katlı kesme çerçevelerinde gözlenen evrensel bir davranıştır (n. mod, n−1 işaret değişimi taşır).
5. Örnek 3 — 4 Katlı Düzensiz Bina (Kütle/Rijitlik Değişken)
Sistem: 4 katlı, gerçekçi bir bina gibi kat kütleleri ve rijitlikleri yükseklikle azalıyor: m=[280, 260, 260, 220] t (1.kattan 4.kata), k=[65000, 60000, 55000, 45000] kN/m.
| Mod | T (s) | Meff (t) | %Katılım | Kümülatif % |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1.1515 | 889.59 | 87.21 | 87.21 |
| 2 | 0.4282 | 98.06 | 9.61 | 96.83 ✓ >%90 |
| 3 | 0.2865 | 25.54 | 2.50 | 99.33 |
| 4 | 0.2291 | 6.81 | 0.67 | 100.00 |
6. Örnek 4 — Yetersiz Mod Sayısı Tuzağı
Amaç: Bu örnek yeni bir sayısal hesap değil, Örnek 3'ün yanlış yorumlanma riskini göstermek için tasarlanmıştır — deneyimsiz bir mühendisin sıkça düştüğü bir tuzak.
Senaryo: Bir mühendis, Örnek 3'teki 4 katlı binayı ETABS'ta modelliyor ve varsayılan mod sayısını (12) değiştirmeden analiz çalıştırıyor. Sistem yalnızca 4 serbestlik derecesine sahip olduğundan (kesme çerçevesi idealizasyonunda), ETABS otomatik olarak yalnızca 4 mod üretir — bu durumda "yetersiz mod" sorunu yaşanmaz çünkü zaten tüm modlar hesaplanmıştır.
İkinci tuzak — burulma baskın ilk mod: Örnek 3'teki gibi düzenli bir kesme çerçevesinde 1. mod her zaman öteleme baskındır. Ancak planda düzensiz (kütle merkezi ≠ rijitlik merkezi) bir binada, 1. mod burulma baskın olabilir — bu durumda ELF yöntemi (tek yönlü, ötelemeyi varsayan) kavramsal olarak uygun değildir ve mod birleştirme yöntemine geçilmelidir (bkz. sıradaki konu, henüz yazılmadı).
| Kontrol listesi | Neden önemli |
|---|---|
| Kümülatif UX ≥ %90 | X yönü deprem tepkisinin yeterince temsil edildiğini garantiler |
| Kümülatif UY ≥ %90 | Y yönü için aynı |
| 1. modda RZ < UX, UY | Burulma baskın olmadığını, ELF'in kavramsal olarak uygun olduğunu doğrular |
| T1 makul aralıkta mı? | Çok büyük T1 (aşırı esnek model) genelde bir modelleme hatasının (serbest kalmış bağlantı, eksik mesnet) işaretidir |