Ana Sayfa / Deprem Mühendisliği / Örnek 3

Örnek 3 — Modal Hesap Yöntemi (Mod Birleştirme Yöntemi)

Örnek 1'deki aynı 3 katlı süneklik düzeyi yüksek BA çerçeve yapı, bu kez Mod Birleştirme Yöntemi (TBDY Ek 4B) ile çözülür. Amaç: aynı binanın iki farklı doğrusal deprem hesap yöntemiyle (Eşdeğer Deprem Yükü vs. Modal) verdiği sonuçları doğrudan karşılaştırmak.

Kaynak: Bu çözümlü örnek, Dr. Öğr. Üyesi Fatih Yesevi OKUR'un (KTÜ İnşaat Mühendisliği Bölümü) "Modal Hesap Yöntemleri ile Doğrusal Deprem Hesabı" ders sunumundan yararlanılarak hazırlanmıştır. Formüller ve madde numaraları TBDY 2018 Ek 4B metninden (Resmî Gazete, kamu malı) alıntılanmıştır. Bina verileri, malzeme, kesitler ve zemin sınıfı Örnek 1 ile birebir aynıdır.

Veriler (Örnek 1 ile aynı yapı)

Yerel Zemin Sınıfı: ZC

S_s / S₁ (DD-2): 0.470 / 0.121

S_DS / S_D1: 0.611 / 0.1815

R / D / I: 8 / 3 / 1.0

Kat Sayısı: 3 kat × 3.0 m = H_N = 9.0 m

Plan Boyutları: 5.0 m × 5.0 m (tek açıklık)

Kolonlar / Kirişler: 30×30 cm / 25×40 cm

Toplam Kütle: 90.36 kNs²/m

Adım 1 — Modal Analiz (TBDY Ek 4B, [K]−ω²[M]{φ}={0})

Aynı sonlu eleman modeli (Örnek 1'deki Adım 2'de tanımlanan malzeme/kesit/kütle) üzerinde bir Modal yük durumu tanımlanır. Modal analiz, taşıyıcı sistemin doğal titreşim frekanslarını (ω_i), periyotlarını (T_i=2π/ω_i) ve her frekansa karşılık gelen mod şekli vektörünü {φ}_i verir.

SAP2000 Uygulaması — Modal Yük Durumu Tanımı

Define → Load Cases → Add New Load Case: Load Case Type = Modal, Type of Modes = Eigen Vectors.

Number of Modes → Maximum Number of Modes: 12
Mass Source: MSSSRC1 (Örnek 1'deki G+0.3Q kütle kaynağı)
Stiffness to Use: Zero Initial Conditions – Unstressed State

Elde edilen Modal Participating Mass Ratios tablosu (SAP2000 çıktısı):

Mod	Periyot (sn)	UX	UY	ΣUX	ΣUY
1	0.770032	0.8488	0.00028	0.8488	0.00028
2	0.770032	0.00028	0.8488	0.84909	0.84909
3	0.681222	0	0	0.84909	0.84909
4	0.232751	0.11683	0.00157	0.96591	0.85066
5	0.232751	0.00157	0.11683	0.96749	0.96749
6	0.213927	0	0	0.96749	0.96749
7	0.129877	0.02825	0.00427	0.99573	0.97175
8	0.129877	0.00427	0.02825	1.00000	1.00000
9–12	≤ 0.1244	≈0	≈0	1.00000	1.00000

Mod 1 ve Mod 2 (T = 0.770 sn): Binanın simetrik plan geometrisi nedeniyle X ve Y yönü öteleme modları çakışık periyotlu çıkmıştır — biri baskın X ötelemesi (UX=0.8488), diğeri baskın Y ötelemesi (UY=0.8488). Bu değer, Örnek 1'de Rayleigh yöntemiyle bulunan T_px=0.766 sn ile %0.5 farkla örtüşmektedir — iki farklı yöntemin (fiktif yük/Rayleigh vs. tam özdeğer analizi) birbirini doğruladığı görülmektedir. Mod 3 (T=0.681 sn) burulma (dönme) modudur.

8. moda kadar hem X hem Y yönünde toplam etkin kütle oranı %100'e ulaşmaktadır; bu nedenle 12 mod, TBDY'nin öngördüğü yeterli mod sayısı koşulunu fazlasıyla sağlar.

Adım 2 — Azaltılmış Tasarım Spektral İvmesi, Her Mod İçin (Denk.4.8, Denk.4B.3)

Her bir mod periyodu T_n için, Örnek 1'de tanımlanan azaltılmış tasarım spektrumundan (S_DS=0.611, S_D1=0.1815, R=8, D=3, I=1) S_aR(T_n) okunur:

S_aR(T_n) = S_ae(T_n) / R_a(T_n) Denk.(4.8)

Modal davranış büyüklüğü (Denk.4B.3): r_n,max = r̄_n·S_aR(T_n). Baskın Mod 1 için (T₁=0.770 sn > T_B=0.298 sn), Örnek 1'in Adım 4'ündeki azalan dal formülü ve R_a=R/I=8 aynen geçerlidir.

Adım 3 — CQC Birleştirmesi ile Taban Kesme Kuvveti (Denk.4B.4–4B.7)

SAP2000 Uygulaması — Response Spectrum (Mod Birleştirme) Yük Durumu

Define → Load Cases → Add New Load Case: Load Case Type = Response Spectrum, Load Case Name = "SPEC-X".

Modal Combination: CQC (Tam Kareli Birleştirme, Denk.4B.4–4B.5)
Directional Combination: SRSS
Modal Load Case: MODAL (yukarıda tanımlanan)
Loads Applied: Accel U1, Function = SPEKTRUM (TSC-2018, aynı parametrelerle), Scale Factor = 9.81 (g cinsinden ivmeyi m/s²'ye çevirmek için)
Modal Damping: Constant at 0.05 (ξ=%5, betonarme için standart)
Diaphragm Eccentricity Ratio: 0 (kazara dışmerkezlik ayrıca ele alınır)

Analiz sonrası Joint Reactions tablosundan (SPEC-X, Max), dört kolon temelinin her birinde F1 (X yönü taban tepkisi):

Düğüm	F1 (kN)	F3 (kN)	M2 (kNm)
1	6.248	11.273	12.1714
3	6.248	11.273	12.1714
5	6.248	11.273	12.1714
7	6.248	11.273	12.1714
Toplam	24.99

V_tE (Mod Birleştirme) = 4 × 6.248 = 24.99 kN

Karşılaştırma — Üç Sonucun Bir Arada Değerlendirilmesi

Eşdeğer Deprem Yükü (Elle)

29.34 kN

Eşdeğer Deprem Yükü (SAP2000)

28.71 kN

Mod Birleştirme (CQC)

24.99 kN

Mod Birleştirme Yöntemi, Eşdeğer Deprem Yükü Yöntemi'ne göre ~%13 daha düşük bir taban kesme kuvveti vermektedir. Bu, mühendislik açısından beklenen bir sonuçtur: Eşdeğer Deprem Yükü Yöntemi yalnızca birinci (baskın) modu temsil ederken, Mod Birleştirme Yöntemi yüksek modların katkısını da hesaba katar; ancak CQC/SRSS istatistiksel birleştirmesi, tüm modların eşzamanlı tepe yapmadığını (olasılıksal olarak) dikkate aldığından, birinci modun tek başına verdiği değerden genellikle daha küçük — asla daha büyük olmayan — bir sonuç üretir.

TBDY §4.8.4 hatırlatması: Denk.(4.31)'e göre büyütme katsayısı yalnızca V_tx < γ_E·V_tE olması durumunda uygulanır. Burada γ_E=0.80 (düzensizlik yoksa) alındığında γ_E·V_tE = 0.80×28.71 ≈ 22.97 kN. V_tx = 24.99 kN > 22.97 kN olduğundan, koşul sağlanmamaktadır — yani modal hesaptan çıkan taban kesme kuvveti zaten yeterince büyüktür ve büyütme katsayısı uygulanmaz (β_tE=1 kabul edilir). Tablo 3.6'daki düzensizliklerden biri (A1/B2/B3) mevcutsa γ_E=0.90 ile kontrol tekrarlanmalı (0.90×28.71≈25.84 kN > 24.99 kN olur ki bu durumda büyütme gerekir — β_tE=25.84/24.99≈1.034).

Sorumluluk reddi: Bu çözümlü örnek eğitim ve ön hesap amaçlıdır. Kesin projelendirme için TBDY 2018'in resmî tam metni, güncel AFAD verileri ve yetkili mühendis onayı esastır. SAP2000 sonuçları programın versiyonuna ve modelleme detaylarına göre farklılık gösterebilir.