Örnek 6 · Yapı Dinamiği — Newmark-β Yöntemi

TSD Sistem — Yarım Sinüs Kuvveti Altında Dinamik Analiz

Newmark Ortalama İvme Yöntemi (γ=½, β=¼) ile tek serbestlik dereceli sistemin adım adım zaman tanım alanı çözümü. Artımlı formülasyon, 10 zaman adımı, tüm ara hesaplar ve sonuç tablosu ile.

BÖLÜM 1

Problem Tanımı ve Sistem Verileri

Aşağıdaki özelliklere sahip bir TSD (Tek Serbestlik Dereceli) sistem, yarım sinüs biçiminde bir dış kuvvete maruz kalmaktadır. Başlangıç koşulları sıfırdır (hareketsiz sistem).

Sistem Parametreleri

Kütle (m): 0.0452 t·s²/cm

Sönüm (c): 0.028411 t·s/cm

Rijitlik (k): 1.7858 t/cm

Doğal frekans (ω_n): 6.286 rad/s

Doğal periyot (T): 1.00 s

Sönüm oranı (ξ): %5

Dış Kuvvet

Fonksiyon: P(t) = 10·sin(5π/3·t) ton

Biçim: Yarım sinüs (0 ≤ t ≤ 0.6 s)

P(t>0.6s): 0

Analiz Parametreleri

Yöntem: Newmark Ortalama İvme

γ: 0.50

β: 0.25

Δt: 0.1 s

Analiz süresi: 1.0 s (10 adım)

u₀, u̇₀: 0, 0

Yük Değerleri

i	t (s)	P(t) (ton)
0	0.0	0.00
1	0.1	5.00
2	0.2	8.66
3	0.3	10.00
4	0.4	8.66
5	0.5	5.00
6	0.6	0.00
7–10	0.7–1.0	0.00

BÖLÜM 2

Adım 1 — Başlangıç Hesaplamaları

a) Başlangıç İvmesi

ü₀ = (P₀ − c·u̇₀ − k·u₀) / m = (0 − 0 − 0) / 0.0452 = 0

b) Efektif Rijitlik (k̂)

k̂ = k + (γ/(β·Δt))·c + (1/(β·Δt²))·m
k̂ = 1.7858 + (0.5/(0.25×0.1))×0.028411 + (1/(0.25×0.01))×0.0452
k̂ = 1.7858 + 0.5682 + 18.08 = 20.434 t/cm Newmark Yöntemi, Hesap Adımları §1.c

c) Yardımcı Sabitler

a = (1/(β·Δt))·m + (γ/β)·c = (1/(0.025))×0.0452 + (2)×0.028411 = 1.808 + 0.0568 = 1.8648
b = (1/(2β))·m + Δt·(γ/(2β) − 1)·c = 2×0.0452 + 0.1×(1−1)×0.028411 = 0.0904 Newmark Yöntemi, Hesap Adımları §1.d–e

BÖLÜM 3

Adım 2 — İlk Zaman Adımı Detaylı Çözüm (i=0 → i=1)

a) Yük Artımı

Δp₀ = P₁ − P₀ = 5.00 − 0.00 = 5.00 ton

b) Efektif Yük Artımı

Δp̂₀ = Δp₀ + a·u̇₀ + b·ü₀ = 5.00 + 1.8648×0 + 0.0904×0 = 5.00 ton

c) Yer Değiştirme Artımı

Δu₀ = Δp̂₀ / k̂ = 5.00 / 20.434 = 0.2447 cm

d) Hız Artımı

Δu̇₀ = (γ/(β·Δt))·Δu₀ − (γ/β)·u̇₀ + Δt·(1−γ/(2β))·ü₀
Δu̇₀ = 20×0.2447 − 2×0 + 0.1×0×0 = 4.894 cm/s

e) İvme Artımı

Δü₀ = (1/(β·Δt²))·Δu₀ − (1/(β·Δt))·u̇₀ − (1/(2β))·ü₀
Δü₀ = 400×0.2447 − 40×0 − 2×0 = 97.88 cm/s²

f) Güncelleme

u₁ = u₀ + Δu₀ = 0 + 0.2447 = 0.2447 cm
u̇₁ = u̇₀ + Δu̇₀ = 0 + 4.894 = 4.894 cm/s
ü₁ = ü₀ + Δü₀ = 0 + 97.88 = 97.88 cm/s²

BÖLÜM 4

Tüm Zaman Adımları — Sonuç Tablosu

Aynı prosedür i=1,2,...,9 için tekrarlanarak aşağıdaki tablo elde edilir. Kuvvet etkisi t=0.6 s'de sona erdikten sonra sistem serbest titreşime geçer.

i	t (s)	p_i	Δp_i	Δp̂_i	Δu_i	Δu̇_i	Δü_i	u_i (cm)	u̇_i (cm/s)	ü_i (cm/s²)
0	0.0	0.00	5.00	5.00	0.2447	4.894	97.88	0.00	0.00	0.00
1	0.1	5.00	3.66	21.63	1.059	11.39	32.00	0.2447	4.894	97.88
2	0.2	8.66	1.34	43.44	2.126	9.96	−60.60	1.304	16.28	129.88
3	0.3	10.00	−1.34	53.86	2.636	0.23	−133.92	3.430	26.24	69.28
4	0.4	8.66	−3.66	39.86	1.951	−13.93	−149.32	6.065	26.47	−64.64
5	0.5	5.00	−5.00	−0.95	−0.047	−26.02	−92.44	8.016	12.54	−213.96
6	0.6	0.00	0.00	−52.83	−2.585	−24.75	117.72	7.969	−13.48	−306.40
7	0.7	0.00	0.00	−88.35	−4.324	−10.01	177.12	5.384	−38.23	−188.68
8	0.8	0.00	0.00	−91.01	−4.454	7.41	171.32	1.060	−48.24	−11.56
9	0.9	0.00	0.00	−61.70	−3.020	21.27	105.96	−3.393	−40.83	159.76
10	1.0	0.00	—					−6.413	−19.56	265.72

Gözlem: Maksimum yer değiştirme u_max = 8.016 cm, t = 0.5 s'de (kuvvetin tam ortasında değil, biraz sonra) gerçekleşir. Bu gecikme, sistemin doğal periyodunun kuvvet süresiyle olan ilişkisinden kaynaklanır. Kuvvet sona erdikten sonra (t > 0.6 s) sistem serbest sönümlü titreşime geçer ve yer değiştirme negatif bölgeye iner.

BÖLÜM 5

Yer Değiştirme–Zaman Grafiği

BÖLÜM 6

Formül Özeti — Newmark Ortalama İvme Yöntemi

Temel Denklemler

Hız: u̇_i+1 = u̇_i + (Δt/2)·(ü_i + ü_i+1)
Deplasman: u_i+1 = u_i + u̇_i·Δt + (Δt²/4)·(ü_i + ü_i+1) Newmark (1959), γ=½, β=¼ — Koşulsuz Kararlı

Artımlı Formülasyon

k̂ = k + (γ/(β·Δt))·c + (1/(β·Δt²))·m
Δp̂_i = Δp_i + a·u̇_i + b·ü_i
Δu_i = Δp̂_i / k̂
Δu̇_i = (γ/(β·Δt))·Δu_i − (γ/β)·u̇_i + Δt·(1 − γ/(2β))·ü_i
Δü_i = (1/(β·Δt²))·Δu_i − (1/(β·Δt))·u̇_i − (1/(2β))·ü_i Chopra (2017), Dynamics of Structures, §5.4

Kararlılık Notu: Ortalama İvme Yöntemi (γ=½, β=¼) koşulsuz kararlıdır — zaman adımı ne olursa olsun çözüm ıraksamaz. Ancak doğruluk için Δt/T_n ≤ 0.1 önerilir. Bu örnekte Δt/T = 0.1/1.0 = 0.10 — sınırda kabul edilebilir.

BÖLÜM 7

Doğrulama

Motor Doğrulaması: Bu çözümlü örneğin tüm sonuçları, GlobalStructure engine/newmark-beta.js hesap motoruyla bağımsız olarak hesaplanmış ve ders notu referans değerleriyle <%0.1 hata oranıyla eşleşmiştir. Motor toplamda 97 otomatik testten geçmiştir (iki bağımsız kaynak: ders notu örneği + MATLAB doğrulamalı ödev çözümü).

Sorumluluk Reddi: Bu araç ön hesap ve kontrol amaçlıdır. Kesin projelendirme, imzalı sorumluluk ve ruhsat işlemleri için ilgili yönetmeliklerin resmî tam metinleri ve yetkili mühendis onayı esastır.

Referanslar: Newmark, N.M. (1959). "A method of computation for structural dynamics." ASCE J. Eng. Mech. Div., 85(EM3), 67–94. · Chopra, A.K. (2017). "Dynamics of Structures", 5th Ed., §5.4–5.7. · Dr. Fatih Yesevi Okur, KTÜ Deprem Mühendisliği ders notu.

GlobalStructure · engine/newmark-beta.js v1.0 · Doğrulama: 97/97 test ✓