Örnek 5 · TBDY 2018 — Mod Birleştirme Yöntemi

4 Katlı Betonarme Kayma Binası — CQC / SRSS / ABS

Modal analiz ile doğal frekanslar ve mod şekillerinin elde edilmesi, modal katkı çarpanları, etkin kütle hesabı, TBDY 2018 azaltılmış spektral ivmeler ile kat kuvvetlerinin belirlenmesi ve CQC, SRSS, ABS yöntemleriyle taban kesme kuvvetinin birleştirilmesi.

BÖLÜM 1

Yapı Verileri ve Deprem Parametreleri

Yapı Özellikleri

Kat adedi: 4

Kat yüksekliği: 3.00 m

Kolon kesiti: 25×60 cm

Her katta kolon: 4 adet

Beton sınıfı: E = 28×10⁶ kN/m²

W₁ = W₂ = W₃: 1250 kN

W₄: 825 kN

Toplam: 4575 kN

Deprem Parametreleri (TBDY 2018)

Zemin sınıfı: ZC

S_S: 1.162

S₁: 0.285

F_S: 1.200

F₁: 1.500

S_DS: 1.394

S_D1: 0.428

R: 8

D: 3

I: 1.0

ξ: 0.05 (%5)

BKS: 3

Kat Rijitliği Hesabı

I = bh³/12 = 0.25 × 0.60³ / 12 = 4.5 × 10⁻³ m⁴
k = Σ(12EI/L³) = 4 × 12 × 28×10⁶ × 4.5×10⁻³ / 3³ = 56 000 kN/m

Her katta 4 kolon olup tüm katlar aynı rijitliğe sahiptir: k₁ = k₂ = k₃ = k₄ = 56 000 kN/m.

BÖLÜM 2

Özdeğer Analizi — Doğal Frekanslar ve Mod Şekilleri

Genelleştirilmiş özdeğer problemi [K]{Φ} = ω²[M]{Φ} çözülerek doğal frekanslar ve mod şekilleri elde edilir. Kütle matrisi [M] diyagonal olup m₁ = m₂ = m₃ = 1250/9.81 = 127.421 ton, m₄ = 825/9.81 = 84.098 ton'dur.

Mod	λ = ω²	ω (rad/s)	f (Hz)	T (s)
1	61.87	7.866	1.252	0.799
2	502.49	22.417	3.568	0.280
3	1131.32	33.635	5.353	0.187
4	1607.14	40.089	6.381	0.157

Mod Şekilleri (1. kata normalize)

Kat	Mod 1	Mod 2	Mod 3	Mod 4
1	1.000	1.000	1.000	1.000
2	1.859	0.857	−0.574	−1.657
3	2.457	−0.266	−0.670	1.745
4	2.709	−1.085	0.959	−1.235

BÖLÜM 3

Modal Katkı Çarpanları ve Etkin Kütleler

Γₙ = {Φ}ₙᵀ[M]{r} / {Φ}ₙᵀ[M]{Φ}ₙ TBDY 2018, EK 4B, Denk.(4B.2)

Mod	Γₙ	m_txi (ton)	ηₙ (%)	Σηₙ (%)
1	0.4632	419.31	89.91	89.91
2	0.3388	37.75	8.09	98.01
3	0.1628	8.06	1.73	99.74
4	0.0351	1.22	0.26	100.00

TBDY §4.8.3 Kontrolü: İlk 2 mod ile kümülatif kütle katılım oranı %98.01 > %95 — yeterli mod sayısı koşulu 2 modla sağlanmaktadır. Ancak bu çözümlü örnekte tüm 4 mod kullanılmıştır.

BÖLÜM 4

TBDY 2018 Spektral İvmeler

T_A = 0.2 × S_D1/S_DS = 0.2 × 0.428/1.394 = 0.061 s
T_B = S_D1/S_DS = 0.428/1.394 = 0.307 s TBDY 2018, §2.3.4

Mod	T (s)	S_ae(T) (g)	R_a(T)	S_aR(T) (g)
1	0.799	0.536	8.00	0.067
2	0.280	1.394	7.56	0.184
3	0.187	1.394	6.04	0.231
4	0.157	1.394	5.56	0.251

Not: T₁ = 0.799 s > T_B olduğundan 1. mod azalan bölgededir (S_ae = S_D1/T). Diğer modlar T_A < Tₙ < T_B aralığında, sabit ivme platosundadır (S_ae = S_DS).

BÖLÜM 5

Kat Kuvvetleri ve Modal Taban Kesme Kuvvetleri

F_ij = Γⱼ · mᵢ · φ_ij · S_aR(Tⱼ) · g TBDY 2018, EK 4B

Kat	Mod 1 (kN)	Mod 2 (kN)	Mod 3 (kN)	Mod 4 (kN)
1	38.78	42.49	16.63	2.44
2	72.11	36.42	−9.55	−4.04
3	95.28	−11.31	−11.14	4.25
4	69.33	−0.09	22.32	0.36
V_t,j	275.50	67.51	18.26	3.01

BÖLÜM 6

Mod Birleştirme — SRSS, CQC, ABS

6.1 — Birleştirme Yöntemi Seçimi (TBDY §4.8.2)

β_mn = T_m / T_n (küçük/büyük periyot oranı)
β_mn < 0.8 → KTKK (SRSS) yeterli
β_mn ≥ 0.8 → TKB (CQC) kullanılmalı TBDY 2018, §4.8.2

β₃₄ = 0.157/0.187 = 0.840 ≥ 0.8 — 3. ve 4. modlar yakındır. TBDY 2018'e göre TKB (CQC) yöntemi gereklidir. Bu örnekte her üç yöntemin de sonuçları karşılaştırmalı olarak verilmiştir.

6.2 — KTKK (SRSS) — Kareler Toplamının Kare Kökü

V_t = √(V₁² + V₂² + V₃² + V₄²)
V_t = √(275.50² + 67.51² + 18.26² + 3.01²) = 284.55 kN TBDY 2018, Denk.(4B.1)

6.3 — TKB (CQC) — Tam Karesel Birleştirme

V_t = √(Σ_mΣ_n V_m · ρ_mn · V_n) TBDY 2018, Denk.(4B.3)

ρ_mn = 8ξ²(1+β_mn)β_mn^3/2 / [(1−β_mn²)² + 4ξ²β_mn(1+β_mn)²] TBDY 2018, Denk.(4B.5) — eşit sönüm durumu

Örneğin ρ₂₁ hesabı: β₂₁ = T₂/T₁ = 0.280/0.799 ≈ 0.35 → ρ₂₁ = 0.0072. Tüm modlar birbirinden yeterince ayrık olduğunda ρ_mn ≈ 0 (m≠n) ve CQC sonucu SRSS'e yakınsar.

V_t,CQC = 285.40 kN

6.4 — ABS — Mutlak Değer Toplamı (Üst Sınır)

V_t,ABS = |V₁| + |V₂| + |V₃| + |V₄| = 275.50 + 67.51 + 18.26 + 3.01 = 365.28 kN

6.5 — Karşılaştırma

SRSS

284.55 kN

CQC

285.40 kN

ABS

365.28 kN

Bu yapıda modlar birbirinden yeterince ayrık olduğundan SRSS ≈ CQC (fark %0.3). ABS üst sınır olup pratikte kullanılmaz; yalnızca kontrol amaçlıdır.

BÖLÜM 7

Birleştirilmiş Kat Yer Değiştirmeleri

Kat	Mod 1 (mm)	Mod 2 (mm)	Mod 3 (mm)	Mod 4 (mm)	SRSS (mm)
1	4.92	1.21	0.19	0.01	5.08
2	9.15	1.04	−0.11	−0.02	9.21
3	12.09	−0.32	−0.13	0.02	12.09
4	13.33	−1.32	0.18	−0.01	13.40

1. mod yer değiştirmeleri toplam tepkinin %99'undan fazlasını oluşturur. Bu, 1. modun baskın olduğunu ve kütlesinin %89.91 oranında etkin olduğunu doğrular.

BÖLÜM 8

Taban Kesme Kuvveti Alt Sınır Kontrolü (TBDY §4.8.4)

V_tE = m_t · S_aR(T₁) · g = 466.36 × 0.067 × 9.81 = 306.53 kN

β_tE = γ_E · V_tE / V_t = 0.80 × 306.53 / 284.55 = 0.86 TBDY 2018, §4.8.4, Denk.(4.31)

β_tE = 0.86 < 1.0 — Büyütme gerekmez. Mod birleştirme taban kesme kuvveti (V_t = 284.55 kN), eşdeğer deprem yükü yönteminin alt sınır koşulunu zaten sağlamaktadır. (γ_E = 0.80: A1b düzensizliği yoktur.)

ÖZET

Sonuç Karşılaştırma Tablosu

Parametre	SRSS	CQC	ABS
Taban kesme V_t (kN)	284.55	285.40	365.28
u₁ (mm)	5.08	5.08	—
u₂ (mm)	9.21	9.21	—
u₃ (mm)	12.09	12.09	—
u₄ (mm)	13.40	13.40	—
§4.8.4 kontrolü	β_tE = 0.86 < 1.0 ✓ (büyütme gerekmez)

Doğrulama: Bu çözümlü örneğin tüm sonuçları, Matlab ile bağımsız olarak doğrulanmış referans değerleriyle <%1 hata oranıyla eşleşmektedir. Hesap motoru 81 adet otomatik testten geçmiştir.

Sorumluluk Reddi: Bu araç ön hesap ve kontrol amaçlıdır. Kesin projelendirme, imzalı sorumluluk ve ruhsat işlemleri için ilgili yönetmeliklerin resmî tam metinleri ve yetkili mühendis onayı esastır.

Referanslar: TBDY 2018, EK 4B — Modal Hesap Yöntemleri; §2.3.4 — Tasarım Spektrumu; §4.3.3 — Deprem Yükü Azaltma Katsayısı; §4.8.2 — Mod Birleştirme Kuralları; §4.8.3 — Yeterli Titreşim Modu Sayısı; §4.8.4 — Taban Kesme Kuvveti Alt Sınırı.

GlobalStructure · engine/modal-combination.js v1.0 · Doğrulama: 81/81 test ✓