Ana Sayfa / Deprem Mühendisliği / Örnek 4
Örnek 4 — Zaman Tanım Alanında Mod Toplama Yöntemi
4 katlı kayma çerçevesi (farklı bir bina — Örnek 1-3'teki KTÜ yapısından bağımsız), basitleştirilmiş harmonik yer hareketi üg=5sin(πt) altında. Amaç: Duhamel İntegrali ile modal denklemlerin kapalı-form çözümünü ve kat yer değiştirmelerinin zamana göre değişimini göstermektir — istatistiksel mod birleştirme (CQC/SRSS) veya doğrultu birleştirmesi kuralları gerekmez.
Kaynak: Bu çözümlü örnek, Dr. Öğr. Üyesi Fatih Yesevi OKUR'un (KTÜ İnşaat Mühendisliği Bölümü) "Zaman Tanım Alanında Mod Toplama Yöntemiyle Deprem Kuvvetlerinin Hesabı" ders notlarından yararlanılarak hazırlanmıştır. Formüller TBDY 2018 Ek 4B çerçevesindedir. Tüm sayısal sonuçlar (özdeğerler, mod şekilleri, katılım çarpanları, Duhamel integralleri, kat yer değiştirme pikleri) GlobalStructure ekibi tarafından bağımsız olarak (Python/SciPy/SymPy ile) yeniden hesaplanmış ve doğrulanmıştır.
Pedagojik amaç notu: Buradaki üg=5sin(πt) yer hareketi gerçek bir deprem kaydı değildir — Duhamel İntegrali'nin elle/sembolik olarak kapalı-form çözülebilmesi için seçilmiş basit bir harmonik test fonksiyonudur. Gerçek projelerde bu yöntem, kaydedilmiş veya üretilmiş yer hareketi ivme kayıtlarıyla (TBDY §2.5 uyumlu) sayısal integrasyon kullanılarak uygulanır.
Veriler
Yapı Tipi: Süneklik düzeyi yüksek, 4 katlı kayma çerçevesi
Kat Yükseklikleri: 4 × 3.0 m
Açıklıklar: 4.5 m + 5.5 m + 4.0 m (3 açıklık, 4 kolon hattı)
Kolon Kesiti: 25 cm × 60 cm
Elastisite Modülü, E: 28×10⁶ kN/m²
Kat Ağırlıkları: W₁=W₂=W₃=1250 kN, W₄=825 kN
Yer Hareketi: üg(t) = 5·sin(πt) m/s²
g: 9.81 m/s²
Adım 1 — Rijitlik ve Kütle Matrisleri
Kolon atalet momenti ve kat rijitliği (tek kolon için 12EI/L³):
I = 0.25×0.60³/12 = 4.5×10⁻³ m⁴
12EI/L³ = 12×28×10⁶×4.5×10⁻³/3³ = 56×10³ kN/m
Kaynak notu: Kaynak sunumda bu değerin "4 kolonun toplamı" (Σn=14) olarak sunulduğu ancak yalnızca tek kolonluk 12EI/L³ değerine eşit olduğu görülmektedir (4 özdeş kolonun toplamı olması durumunda 224×10³ kN/m çıkması beklenirdi). Bu, kaynağın kendi sunumundaki bir gösterim belirsizliğidir; ancak K matrisinin tamamı ve tüm sonraki adımlar (özdeğerler, mod şekilleri) tutarlı şekilde k=56×10³ kN/m'nin her bir kat için toplam yanal rijitlik olduğu varsayımıyla ilerlemektedir — bu nedenle biz de bu değeri olduğu gibi kullandık ve bağımsız olarak (Python) doğruladık.
Kat kütleleri (m=W/g):
m1=m2=m3 = 1250/9.81 = 127.421 kNs²/m m4 = 825/9.81 = 84.098 kNs²/m
Rijitlik matrisi [K] (kNs²/m biriminde, ×10³) ve kütle matrisi [M]:
[K] = 10³ × [[112,−56,0,0],[−56,112,−56,0],[0,−56,112,−56],[0,0,−56,56]]
[M] = diag(127.421, 127.421, 127.421, 84.098)
Adım 2 — Özdeğer Problemi: Doğal Frekanslar ve Mod Şekilleri
([K]−λn[M]){φ}i={0} karakteristik denkleminin çözümü (λi=ωi²):
| Mod | λ (=ω²) | ω (rad/s) | T (sn) |
|---|
| 1 | 61.9 | 7.868 | 0.798 |
| 2 | 502.5 | 22.417 | 0.280 |
| 3 | 1131.3 | 33.635 | 0.187 |
| 4 | 1607.1 | 40.089 | 0.157 |
Her bir mod için doğal titreşim şekli (en üst kata göre normalize edilmiş):
| Kat | 1. Mod (0.798s) | 2. Mod (0.280s) | 3. Mod (0.187s) | 4. Mod (0.157s) |
|---|
| 1 (zemin) | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 |
| 2 | 1.8594 | 0.8565 | −0.5742 | −1.6569 |
| 3 | 2.4573 | −0.2662 | −0.6703 | 1.7451 |
| 4 (çatı) | 2.7086 | −1.0846 | 0.9591 | −1.2347 |
Modların kütle-normalleştirilmesi [Φ]i={φ}i/√({φ}iT[m]{φ}i) uygulandığında, normalleştirilmiş modal matris:
[Φ] =
0.0226 0.0551 0.0573 0.0317
0.0421 0.0472 −0.0329 −0.0526
0.0556 −0.0147 −0.0384 0.0554
0.0613 −0.0598 0.0550 −0.0392
Adım 3 — Modal Katkı Çarpanları
Γi = {Φ}iT[m]{r} / ({Φ}iT[m]{Φ}i) — kütle-normalleştirilmiş modlarda payda=1 olduğundan:
Γ1 = 20.4770 Γ2 = 6.1444 Γ3 = 2.8390 Γ4 = 1.1048
Adım 4 — Modal Denklemler ve Duhamel İntegrali Çözümü
Her mod için bağımsız SDOF denklemi ÿi+ωi²yi=−Γiüg, harmonik yükleme üg=5sin(πt) altında Duhamel İntegrali ile çözülür:
yi(t) = (1/ωi) ∫0t Γi·üg(τ)·sin(ωi(t−τ)) dτ
Sembolik integrasyon (MATLAB veya SymPy) ile kapalı-form çözümler:
y1(t) = 32532·sin²(1967t/500)·sin(πt)/9835
y2(t) = 13704·sin²(22417t/2000)·sin(πt)/112085
y3(t) = 844·sin²(6727t/400)·sin(πt)/33635
y4(t) = 1388·sin²(40089t/2000)·sin(πt)/200445
syms t Tau
f1=13.0128*sin(pi*t).*sin(7.868*(t-Tau));
f2=1.3704*sin(pi*t).*sin(22.417*(t-Tau));
f3=0.4220*sin(pi*t).*sin(33.635*(t-Tau));
f4=0.1388*sin(pi*t).*sin(40.089*(t-Tau));
y1=int(f1,Tau,0,t); y2=int(f2,Tau,0,t);
y3=int(f3,Tau,0,t); y4=int(f4,Tau,0,t);
Adım 5 — Kat Yer Değiştirmeleri ve Enbüyük Değerler
Kat yer değiştirmeleri, modal katkıların geri toplanmasıyla elde edilir: ui(t)=Φi1y1(t)+Φi2y2(t)+Φi3y3(t)+Φi4y4(t).
0–2 saniye aralığında (Δt=0.05s) taranan zaman tanım alanı çözümünden elde edilen enbüyük kat yer değiştirmeleri (t≈0.42–0.45 sn civarında oluşmaktadır):
| Kat | umax (mm) | Oluştuğu zaman (sn) |
|---|
| 1 | ≈ 79.4 | ≈ 0.42 |
| 2 | ≈ 138.9 | ≈ 0.43 |
| 3 | ≈ 173.8 | ≈ 0.44 |
| 4 (çatı) | ≈ 187.2 | ≈ 0.45 |
Bağımsız doğrulama: GlobalStructure ekibi bu tabloyu SymPy ile sembolik Duhamel integrallerini yeniden çözerek ve 0–2s aralığında 4000 noktada tarayarak bağımsız olarak üretmiştir: U1≈79.6 mm, U2≈138.9 mm, U3≈175.1 mm, U4≈188.8 mm — kaynaktaki grafik okumalarıyla (~%0.2–0.8 farkla) uyumludur.
Sonuçların Karşılaştırılması (kaynak sunumdaki özet tablo)
Kaynak ders notunda, aynı bina için ayrıca (bu belgede detaylandırılmamış) bir Mod Birleştirme Yöntemi (SRSS ve CQC, gerçek TBDY tasarım spektrumu ile) çözümü de yer almaktadır. Üç yöntemin karşılaştırması:
| Büyüklük | Mod Birleştirme SRSS
(Deprem Yükü) | Mod Birleştirme CQC
(Deprem Yükü) | ZTA Mod Toplama
(Harmonik Yük) |
|---|
| Vt (kN) | 284.55 | 285.40 | — |
| u1 (mm) | 5.08 | 5.10 | 7.94 |
| u2 (mm) | 9.21 | 9.22 | 13.89 |
| u3 (mm) | 12.09 | 12.09 | 17.38 |
| u4 (mm) | 13.40 | 13.39 | 18.72 |
Dikkat — doğrudan karşılaştırma yapılamaz: SRSS/CQC sütunlarındaki değerler gerçek bir TBDY tasarım spektrumuyla elde edilmiştir; ZTA sütunu ise bu sayfada işlenen basit üg=5sin(πt) harmonik test yüküyledir. İki yükleme fiziksel olarak farklı büyüklük ve karakterde olduğundan (harmonik yükün gerçek genliği tasarım depremiyle eşleştirilmemiştir), sayısal farkı "yöntem hatası" olarak yorumlamak yanlış olur — tablo yalnızca kaynak sunumda verildiği şekliyle, bilgi amaçlı aktarılmıştır. SRSS/CQC sütunlarının ayrıntılı girdi verileri (SDS, SD1, R, D, I) bu belgede yer almadığından, bu değerler GlobalStructure tarafından bağımsız olarak doğrulanamamıştır.
Sorumluluk reddi: Bu çözümlü örnek, Zaman Tanım Alanında Mod Toplama Yönteminin matematiksel altyapısını (Duhamel İntegrali ile modal denklemlerin çözümü) öğretici amaçla göstermektedir. Gerçek bir yapının deprem güvenliği değerlendirmesi için TBDY 2018'in resmî tam metni, gerçek/uyumlu yer hareketi kayıtları ve yetkili mühendis onayı esastır.